５角形の切り出し精度（tan 72°近似の誤差）

寒の戻りというやつでしょうか、雨が降ったりして急に冬に戻ったような冷え込みです。
まぁ、天気が不安定というのも、それはそれで春らしい天気なのかもしれませんね。

今回は５角形の紙を切り出す手法とその精度について検討してみました。

基本的に「折り紙」は、正方形（ましかく）の紙を使って折り進めてゆくわけですが、実際には正方形に限らず、円や正多角形などの単純な形状の用紙から折り始める作品も多いです。

花などを実現する際には花弁の枚数に応じて、５角形や６角形、８角形の用紙を使用する例が多くみられます。

正方形からスタートする作品であっても、６角形や８角形に切り出す手順が工程の中に含まれている作品も多いようです。

前ご紹介した「５角形から折る川崎ローズ『薔薇』」や「鶴の基本形から折るバラ５角版」などは５角形の紙から折ってゆく作品です。

コアなファンの多い「佐藤ローズ」（Naomiki Sato Rose）も５角形の用紙から折る作品ですね。

ところが、世間に流通している紙（折り紙）はほとんどが長方形か正方形で、５角形の用紙を買ってきてそのまま使うということは、まずありません。

ですから、５角形で折る作品に取り組む際には、何らかの手法で四角い紙から５角形に切り出してやる必要があります。

さて、皆さんは正方形から５角形を切り出す方法として、どんな方法を使っていますでしょうか。

こんな感じのやり方でしょうか。

それとも、こんな方法でしょうか。

これら２つあたりが、最もポピュラーに使われている手法なのではないかと思われますが、これらの方法はいずれも、５角形の中心角である７２°（=３６０/５）のタンジェント（正接）「tan　７２°」の値を「３」としてに近似した手法になっています。

関数電卓がお手元にある方はすぐ確認できると思いますが、

        tan( ７2°)　=　3.0776835371752534025702905760369

「３」にかなり近い値ではあるのですが、完全には一致せず誤差が生じます。

早い話が、これらの手法では「どんなにきちんと丁寧に折っても、絶対に正確な正５角形には切り出せない」ということを意味しています。

一般的には「実用上十分な精度である」とかいわれてる手法なのですが（「実用」って何？とか、「十分な」ってどのレベル？なんて気にするとキリがないんです。）、本来は使用目的に応じてきちんと精度が十分であるか検証する必要があるのではなかと思い、詳しく検討してみることにしました。

今回は個人的によく使う、最初の５角形切り出し手法（5角形の切り出し_A）について、どの程度の精度が出るのかを作業工程に従って明確に調べてみましょう。

この手法の解析は、このままだとなんとなく理解しにくいですが、下図のような補助線を入れるとわかりやすくなります。

３：１の比率を持つ直角三角形を使って、５角形の中心角７２°に近い角７１．５６５°をつくりだしています。tan( x )の逆関数 atand( x　)で具体的に求めてみると、

　　　　atand(　3　) = 71.565051177077989351572193720453°

以下、５角形切り出しの手順に従って、切り出す5角形の中心角の角度割りを決めていきます。

最終的には、本来の正５角形の中心角７２°より小さい中心角の辺３つと、７２°より大きい中心角の辺２つで構成される５角形が切り出されることになります。

これは切り出された５角形の、２つ辺はちょっと長く、３つの辺はちょっと短くなっっていることを表しています。５つの辺を持つ５角形ではあるのですが、正５角形じゃないってことです。

実際の作業で誤差として実感するのは、２つの辺を重ねた時の大きさ（長さ）の違いです。

ちょっと長い辺P1と、ちょっと短い辺P2の寸法の差はどれくらいの大きさになるのでしょうか。

２つ辺の寸法差　e　=　P1 - P2　は、

　　　　　 e　=　2・k・[ sin(72.653/2) - sin(71.565/2) ]
　　　　　　      =　2・k・( 0.5924－0.5847 )

       　　 k　=　L/２/sin72°=　0.5257・L　　を用いて　　

             e  =  0.0081・L

元の正方形の折り紙の大きさ Ｌ の０．８％程度の誤差が生じることがわかります。

これは、１５ｃｍ折り紙で １．２mm の寸法差、２５ｃｍの折り紙で２ｍｍの誤差に相当します。

おそらく目で見て、あるいは手で触って、「アレッ、おかしいな」と十分感じる誤差なのではないかと思います。

実際には、紙の厚みに起因する誤差や、作業に伴う誤差もこれに追加されますが、一生懸命丁寧に折った際の誤差に比較するとかなり大きく感じます。

１～２mmの誤差を無視できるレベルとみるか、考慮しなければならないレベルと捉えるかは作品によって、きっと大きく異なると思われます。

特に２０ｃｍ以上の大き目の紙を使用して、精度よく折りたい場合には、切り出しの過程で誤差が発生していることをきちんと認識しておく必要があると思います。

以上、一般的な５角形切り出し法には tan 72°≒ ３ 近似のため０．８％程度の誤差がどうしても残ってしまうことがわかりました。

まぁ、確かにたかが１～２mmではあるのですが（こんなこと気にしてるようじゃ大物になれない…?）、５角形に切り出して「さあ折るぞ！」という段階で、出鼻をくじかれるというか、ちょっとテンションが下がっちゃうんじゃないでしょう。

それに「丁寧に正確に折れば折るほど確実に誤差が出る」なんて、理不尽な気もしますよね。

そこで、もっと精度よく（できれば簡単に）５角形を切り出す方法を検討してみました。詳細は別の機会にご紹介させていただこうと思っています。（こんな記事ばかり続くと面白くないですからね）　　

解決編の記事はこちらをご参照ください。　　「精度の高い正５角形の切り出し方」

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